基礎微積分統整

這不完全與電腦科學有關，所以我沒有貼那個標籤:P。此文中函數只有單參數。

極限

\lim_{x \rightarrow a^{+}}{f(x)} = b

表示當 $x$ 由右側趨近 $a$ 時， $f$ 趨近 $b$ ，這被稱為右極限。

\lim_{x \rightarrow a^{-}}{f(x)} = b

表示當 $x$ 由左側趨近 $a$ 時， $f$ 趨近 $b$ ，這被稱為左極限。當兩者相同時，即

\lim_{x \rightarrow a^{+}}{f(x)} = \lim_{x \rightarrow a^{-}}{f(x)} = b

，表示當 $x$ 趨近 $a$ ， $f$ 趨近 $b$ ，即

\lim_{x \rightarrow a}{f(x)} = b

，這也代表 $f$ 在 $x=a$ 極限存在。

若函數在特定區間連續，則它必須先在其極限存在，若 $f: R \rightarrow R, f(x)$ 是連續的，其中 $x \in [a,b]$ ，則它必須滿足下列事實：

一個函數對於特定參數的導數是這函數基於特定參數變化的函數，舉例來說， $f: R \rightarrow R, f(x)$ 對 $x$ 的導數是 $\frac{df}{dx}$ 。它可以被定義為下

\frac{df}{dx} = \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{f(x+h) - f(x)}{h}}

如果函數在區間中可微分，則它必須在區間中連續，若 $f: R \rightarrow R, f(x)$ 可微，則它的導數是連續的，於是我們可以總結

\text{可微分} \implies \text{連續} \implies \text{極限存在}

對於在區間 $[a,b]$ 連續的函數 $f$ 而言，它必須滿足下列事實 $\forall c \in [\min(f(a), f(b)), \max(f(a), f(b)) ]$ ，存在 $r$ 滿足 $f(r) = c \{r \in [a,b]\}$ 。

對於在區間 $[a,b]$ 的函數 $f$ ， $U$ 表示上限集合（純量）， $L$ 代表下限集合（純量）。定義 $v, \forall v \in [a, b]$ ，

l \leq f(v) \leq u, l \in L, u \in U

當我們將上下限集合限制只有對應在區間中 $f$ 的值，我們會得到極值定理，其中 $L$ 與 $U$ 個別被縮減成單一值 $f(c)$ 與 $f(d)$ 。

令 $e$ 唯一數， $b$ 為常數，使

f(x) = e^{bx} \\ \frac{df}{dx} = be^{bx} = b \cdot f(x)

，所以對於 $\forall a \in R, a > 0$ ，

f(x) = a^x = e^{\ln(a)x} \\ \frac{df}{dx} = \ln(a) \cdot e^{\ln(a)x} = \ln(a) \cdot f(x)

已知

\frac{d(\ln x)}{dx} = \frac{1}{x}

，因此對於函數 $f$ 而言，

\frac{d(\ln f(x))}{dx} = \frac{d(\ln f(x))}{df} \cdot \frac{df}{dx} = \frac{1}{f(x)} \cdot \frac{df}{dx}

。上述技巧其實就是連鎖律喔！

給定函數 $f, f(x)$ ，其在 $(r, f(r))$ 的線性估計（直線）為 $y = f'(r)(x-r)+f(r) = g(x)$ 。

(1+x)^r \approx 1 + rx \text{ where } x \rightarrow 0

\sin(x) \approx x \text{ where } x \rightarrow 0

\cos(x) \approx 1 \text{ where } x \rightarrow 0

e^x \approx 1 + x \text{ where } x \rightarrow 0

\ln(1+x) \approx x \text{ where } x \rightarrow 0

(1+x)^r \approx (1+0)^r + r(1+0)^{r-1}x=1+rx

\sin(x)\approx \sin(0) + \cos(0)x = x

\cos(x)\approx \cos(0) + -\sin(0)x = 1

e^x \approx e^0 + e^0 x = 1 + x

\ln(1+x) \approx \ln(1) + \frac{x}{1+0}=x

設定函數 $f(x)=ax^2+bx+c$ ，查看其在 $x=0$ 的導數，

f(0)=c, f'(0)=b, f''(0)=2a

可以用來表示 $f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)x^2 \cdot (2!)^{-1}$ 。推廣這心得，我們得到對於函數在 $x=r$ 的二次估計為

f(x) \approx f(r) + \frac{f'(r)(x-r)^1}{1!} + \frac{f''(r)(x-r)^2}{2!}

$f$ 的二次估計為 $Q(f)$ 。

Q(f(x) \cdot g(x)) = Q(Q(f(x))\cdot Q(g(x)))

由上面的估計不難看出規則，對於函數 $f$ 在 $x=r$ 的估計而言，

f(x) = f(r) + \sum^{\infty}_{n=1}{\frac{f^{(n)}(x) \cdot (x-r)^n}{n!}}

，稱為泰勒級數。